Espaço-Tempo Perturbado: 14/07/2013

Um dos grandes feitos de Newton foi unificar o que ocorre no plano celeste com o terrestre, ao formular os princípios de gravitação universal e ao definir as leis do movimento e da atração. Tais assuntos estão reunidos em sua grande obra Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Porém, as leis de Newton são válidas para uma situação especial, que é a do referencial inercial. Além disso, Newton deixou claro no final do “Principia” que, apesar de compreender os efeitos da gravidade ele não era capaz de explicar o que ela era ou sua causa. Isso é observado no seguinte trecho de sua obra (NEWTON, 1871): “até aqui não pude descobrir a causa dessas propriedades da gravidade a partir dos fenômenos, e não faço nenhuma hipótese; pois o que quer que seja que não seja deduzido dos fenômenos, deve ser chamado de hipótese; e hipóteses, sejam metafísicas ou físicas, sejam de qualidades ocultas ou mecânicas, não tem lugar na filosofia experimental.”

Só mais tarde, a gravitação pode realmente ser entendida, graças à formulação de Einstein da Teoria Geral da Relatividade. Além disso, a leis de Newton são válidas somente para os casos de referencias inerciais. Outro aspecto importante é que a gravitação é a única força que opera a grandes distâncias, logo é o entendimento da força gravitacional que permite ter uma visão do comportamento do universo em grande escala.

Gravitação, uma nova visão

A motivação para a reestruturação da gravitação newtoniana, com a finalidade de torná-la em acordo com relatividade especial, é evocada por Einstein da seguinte forma:

Quando em 1907, eu trabalhava num artigo de síntese sobre a teoria da Relatividade Restrita para o Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, tive também que tentar modificar a teoria newtoniana da gravitação, de modo que suas leis se ajustassem à teoria da Relatividade Restrita.[...] Então me ocorreu o “glücklichste gedanke meines lebens” [pensamento mais feliz de minha vida], da seguinte forma: O campo gravitacional tem apenas uma existência relativa, de algum modo semelhante ao campo elétrico gerado por indução magnetoelétrica. Porque para um observador que cai livremente do telhado de uma casa não existe -pelo menos no ambiente imediato- campo gravitacional. Na realidade, se este observador deixar cair alguns corpos, estes permanecerão, em relação a ele, em estado de repouso ou de movimento relativo uniforme, independente da natureza física ou química de cada um (...) (PAIS, 1982).

Este pensamento descreve um dos cinco princípios em que está fundamentada a teoria da Relatividade Geral. Isto é, o Princípio da Equivalência. Em outras palavras, o que este princípio diz é: O movimento de uma partícula teste em um campo gravitacional é independente de sua massa e composição. O campo gravitacional está acoplado a tudo, e um observador em queda livre não consegue distinguir se está na presença de um campo gravitacional genuíno ou em um referencial uniformemente acelerado. Veja que dentro dessa visão, a gravitação comporta-se como uma força de inércia, que na literatura é muitas fezes conhecida como pseudo-força ou força fictícia. Na figura abaixo se encontra um exemplo desse princípio. Os efeitos sofridos na bola, percebido pela astronauta são iguais nas duas situações, pois no caso da nave que está longe da em movimento, a sua aceleração é equivalente a aceleração gravitacional de um objeto na superfície da Terra.

Além disso, nesse contexto está inserido o fato de que a massa inercial m_i de um corpo, dado pela segunda lei de Newton (F= a.m_i), é equivalente a massa gravitacional. Como exemplo, considere um corpo de massa m_ique está em queda livre na superfície da Terra. A força atrativa que a Terra exerce sobre o corpo é:

(1)

Onde o índice g denota massa gravitacional, G é a constante gravitacional, M_gT é a massa gravitacional da Terra, m_g é a massa gravitacional do corpo em queda livre e r é a distância entre a Terra e o corpo. Mas pela segunda lei de Newton, pode-se escrever:

(2)

Assim, a aceleração que o corpo sofre é dada por:

(3)

Mas já era fato, desde Galileu, que a aceleração da gravidade é a mesma para todos os corpos. Experimentos realizados em 1971 por Braginsky e Panov mostraram que a massa inercial é equivalente a massa gravitacional, com precisão de 10^-12 (NUSSENZVEIG, 2002).

O Princípio de Mach: O espaço e o tempo não são absolutos

Outro pilar da Teoria Geral da Relatividade é o princípio de Mach. Na visão newtoniana, espaço é absoluto, permanecendo sempre o mesmo sem ter relação com qualquer objeto externo. Sendo que os movimentos absolutos se distinguem dos movimentos relativos pelos efeitos de força inercial. Mas Mach contesta essa visão absolutista, dizendo que só existe movimento relativo, que não importa se é a terra que gira entorno de seu eixo, ou se está parada enquanto as estrelas fixas giram ao seu redor.

Para melhor entender isso, consideraremos o experimento do balde, ilustrado na figura abaixo, que foi proposto por Newton.

Os passos do experimento são os seguintes:

1. Inicialmente, um balde com água é suspenso por uma corda que sofre uma torção.

2. Deixa-se que todo o sistema fique em repouso. Então, solta-se o balde e o mesmo começa a girar. Porém, a água que está dentro continua em repouso e sua superfície permanece plana.

3. Devido a efeitos de fricção, a rotação do balde é transmitida para a água. Então, devido à força centrífuga, as moléculas do centro são empurradas para fora e a superfície da água se torna côncava, assumindo uma forma parabólica.

4. Eventualmente o balde irá parar, mas a água ainda permanecerá girando por um tempo, sendo que sua superfície irá continuar côncava.

5. Finalmente a água irá retornar ao repouso e sua superfície irá ficar plana.

Para Newton, a curvatura que surge na superfície da água, na fase dois e três do experimento, aparece devido a efeitos centrífugos causados pela rotação da água em relação ao espaço absoluto. Note que a curvatura da água não está diretamente relacionada a considerações locais, pois mesmo quando o balde para de girar, a água irá continuar girando e sua superfície será côncava.

Mas para Mach, a visão é outra. Para ele, não existe o conceito de movimento, mas sim o de movimento relativo. Por exemplo, para um corpo que esteja em um universo vazio não se pode dizer que o mesmo está em movimento, pois como não existe mais nada, o movimento do corpo não pode ser referenciado. Porém, para um universo preenchido, existe a interação com toda a matéria, via força gravitacional, que é a fonte dos efeitos inerciais. Tal como o que provoca a curvatura da superfície da água em rotação, mesmo quando o balde para de se mover. Em nosso universo, o grosso de matéria está nas chamadas estrelas fixas. Então, na visão machiana, um referencial inercial é um referencial que está em algum estado privilegiado de movimento, com relação ao movimento médio das estrelas fixas. Logo, são as estrelas fixas, através de sua massa, distribuição e movimento, que determinam o referencial inercial local.

Sendo mais direto, o que o princípio de Mach diz é: a distribuição de matéria no universo é quem determina a geometria, e que um corpo em um universo vazio não possui propriedades inerciais. Logo, a gravitação é a resposta que o espaço fornece à presença de matéria e energia contida no mesmo no mesmo.

Uma única entidade: Espaço-Tempo

A inclusão do tempo ao espaço foi primeiramente apresentada por Minkowski, em 1908. Em seu trabalho, o conceito de espaço e tempo foi apresentado como sendo uma entidade única, sendo constituído por três dimensões espaciais e uma temporal. Isso ampliou o trabalho de Einstein sobre a teoria da relatividade restrita.

Além desses dois princípios (o de Mach e da Equivalência), a Teoria Geral da Relatividade conta com mais três outros princípios, que dizem o seguinte: Principio da covariância - todo observador é equivalente; Principio de acoplamento gravitacional mínimo – Em coordenadas geodésicas locais, as equações de movimento são as da Relatividade Especial; Princípio da correspondência – Uma nova teoria precisa ser consistente com uma dada teoria anterior, dentro dos seus limites de validade.

Mas o que Ã© mesmo a gravidade?

quinta-feira, 18 de julho de 2013

Foto de Abertura do CIAA 2013

Essas são algumas fotos da abertura do Curso de Introdução a Astronomia e Astrofísica do INPE de 2013.

Foto de Abertura do CIAA 2013

quarta-feira, 17 de julho de 2013

Parte 1. Um breve Tutorial de análise Wavelet (Ondeleta), usando Python.

Um grupo da National Oceanography Centre (NOC) da Universidade de Southampton desenvolve um pacote para análise de coerência Wavelet (Ondeletas) em Matlab (http://noc.ac.uk/using-science/crosswavelet-wavelet-coherence). Como eu queria usar esse pacote, mas não tinha o menor interesse em usar o Matlab, eu acabei desenvolvendo uma API que permite usar as saídas desse pacote em um programa escrito em python. A página do meu projeto pode ser acessada em http://duducosmos.github.io/PIWavelet/. Basicamente o que fiz foi rodar o pacote original em Matlab no octave 3.6, os resultados obtidos são passados para um array python e assim vai.

A ideia aqui é fazer um breve tutorial sobre Wavelets e, dado dois conjuntos de sinal, como medir o grau de relação entre os dois.

Tradicionalmente o que se faz é, dado, por exemplo, dois conjuntos de dados, buscar qual a correlação linear entre eles. Mas fica a questão, e se a relação entre os dados não for linear? E se essa relação muda com o tempo?

Uma ferramente recente para resolver tais questões, em particular para análise de séries temporais, é o uso de Wavelets e da técnica de coerência, que mede o grau de relação entre os sinais ao longo do tempo.

Wavelet (Ondeleta)

A Wavelet, ou ondeleta em português, é uma função com média zero e que é definida em frequência e tempo. Pode se caracterizar a ondeleta pelo modo como ela se localiza no espaço de tempo e de frequência. Aqui vale ressaltar que de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg que sempre existirá uma incerteza intrínseca em o quão pequeno pode ser a banda de tempo e frequência.

Uma ondeleta particular é a de Morlet, a qual é definida como:

(1)

sendo a frequencia adimensional e o tempo adimensional.

Transformação contínua de ondeleta

A ideia da transformação contínua de ondeleta (Continuous Wavelet Transform - CWT) está em aplicar a ondeleta como um filtro passa bandas em uma série temporal. A ondeleta sofre estreitamento no tempo variando sua escala ( ), tal que , sendo que sua normalização tem unidade de energia. A CWT de uma função é definida pela transformação integral:

, para . (2)

Sendo:

(3)

representa uma família de funções wavelets, chamada de wavelet mãe. O parâmetro $a$ refere-se a escala, $b$ é a translação ou parâmetro de localização da wavelet mãe e é o complexo conjugado de .

Exemplo e uso do código:

No exemplo abaixo é gerado um sinal aleatório. Esse dado é normalizado e em seguida se gera o gráfico da CTW desse sinal.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from piwavelet import piwavelet
y1 = np.random.rand(50) #Generation of the Random Signal
y1 = (y1-y1.mean())/y1.std() #Normalization of the Signal 1
wave, scales, freqs, coi, fft, fftfreqs=piwavelet.cwt(y1) # If you want to know the individual properties.'
piwavelet.plotWavelet(y1,title='test',label='Random Signal',units='days')

Na figura abaixo está a imagem resultante.

Decifrando o código:

Primeiramente são importados os módulos a serem usados


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from piwavelet import piwavelet

Aqui é gerado uma série de dados aleatória


y1 = np.random.rand(50) #Generation of the Random Signal

O dado é normalizado de forma que é subtraída a média do mesmo e dividido pelo desvio padrão


y1 = (y1-y1.mean())/y1.std() #Normalization of the Signal 1

Finalmente são obtidos a CTW, a escala, a frequência, o cone de influência, a transformada de Fourrier (TF) do sinal e a frequências da TF.


wave, scales, freqs, coi, fft, fftfreqs=piwavelet.cwt(y1) # If you want to know the individual properties.'
piwavelet.plotWavelet(y1,title='test',label='Random Signal',units='days')